Chuỗi số có thể chứa các biểu thức thuộc một trong nhiều tập hợp bao gồm số thực, số phức và hàm. Định nghĩa dưới đây đúng với số thực, nhưng có thể được tổng quát hóa.

Cho một dãy số thực vô hạn { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} ,

S N = ∑ n = 0 N a n = a 0 + a 1 + a 2 + ⋯ + a N . {\displaystyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{N}.}

được gọi là tổng hữu hạn đến N của dãy số { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} , hay tổng hữu hạn của chuỗi số. Một chuỗi số là một dãy các tổng hữu hạn { S N } {\displaystyle \{S_{N}\}} .

Nhầm lẫn có thể có

Khi nói về chuỗi số, người ta có thể đang chỉ dãy các tổng hữu hạn { S N } {\displaystyle \{S_{N}\}} , hoặc nói về tổng của chuỗi số,

∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}

hay còn gọi là giới hạn của dãy các tổng hữu hạn (xem định nghĩa ở phần sau). Để phân biệt giữa hai khái niệm hoàn toàn khác biệt (một bên là chuỗi số, bên kia là tổng các giá trị), người ta đôi khi bỏ không viết các giới hạn (bên trên và bên dưới ký hiệu tổng), ví dụ như:

∑ a n , {\displaystyle \sum a_{n},}

để chỉ chuỗi vô hạn. Chuỗi này có thể có hoặc không tương đương với một giá trị hữu hạn.

Chuỗi hội tụ

Chuỗi   ∑an  được gọi là 'hội tụ' khi dãy các tổng hữu hạn { S N } {\displaystyle \{S_{N}\}} có một giới hạn hữu hạn. Nếu giới hạn của SN là vô hạn hoặc không tồn tại, chuỗi số được gọi là phân kỳ. Khi giới hạn của một dãy các tổng vô hạn tồn tại, giới hạn đó được gọi là tổng của chuỗi số

∑ n = 0 ∞ a n = lim N → ∞ S N = lim N → ∞ ∑ n = 0 N a n . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }S_{N}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}a_{n}.}

Cách dễ nhất để một chuỗi vô hạn hội tụ là nếu an bằng không với mọi n đủ lớn. Dễ thấy một chuỗi số như vậy có thể được viết dưới dạng một tổng hữu hạn, cho nên chuyện dãy số đó là vô hạn không có ý nghĩa gì.

Tìm ra các giá trị của một chuỗi hội tụ kể cả khi tất cả các biểu thức đều khác không là tiêu điểm của việc nghiên cứu chuỗi. Xem xét ví dụ sau:

1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + ⋯ + 1 2 n + ⋯ {\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}+\cdots }

Có thể "hình dung" sự hội tụ của chuỗi trên trục số thực: ta có thể hình dung một đoạn thẳng có chiều dài bằng 2, trên đó lần lượt bôi đen các phần với chiều dài 1, ½, ¼, v.v. Luôn luôn còn chỗ để bôi đen phần tiếp theo vì phần đoạn thẳng còn lại luôn luôn bằng phần đoạn thẳng vừa đánh dấu. Thật vậy, khi ta đã bôi đen ½, ta vẫn còn một phần có chiều dài ½ chưa bị bôi đen, nên hoàn toàn có thể bôi đen tiếp ¼, và cứ như thế. Điều này không chứng minh rằng tổng này bằng 2 (mặc dù đúng là như thế), nhưng nó chứng minh rằng tổng này nhỏ hơn hoặc bằng 2. Nói cách khác, chuỗi này có giới hạn trên.

Toán học gia mở rộng đặc ngữ này để thể hiện các khái niệm khác, tương đương của chuỗi. Ví dụ, khi ta nói về số thực lặp phần thập phân, như:

x = 0.111 … {\displaystyle x=0.111\dots }

thực ra ta đang nói về chuỗi số mà nó thể hiện (0.1 + 0.01 + 0.001 + …). Tuy nhiên, vì những chuỗi này luôn hội tụ về số thực (bởi tính toàn diện của số thực), nói về chuỗi số theo cách này cũng giống như nói về các số mà chúng thể hiện. Đặc biệt, không nên thấy bất hợp lý khi coi 0.111… và 1/9 là một. Lập luận rằng 9 × 0.111… = 0.999… = 1 không hiển nhiên, nhưng hoàn toàn chứng minh được một khi đã biết các định luật về giới hạn bảo toàn các phép tính số học. Xem 0.999... để biết thêm chi tiết.

Một số dạng chuỗi vô hạn

• Chuỗi hình học là chuỗi mà mỗi hạng tử của nó là tích của hạng tử đứng trước với một hằng số. Chẳng hạn:

1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n . {\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}.} Tổng quát, chuỗi hình học ∑ n = 0 ∞ z n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}} hội tụ nếu và chỉ nếu |z| < 1.

• Chuỗi điều hòa là chuỗi mà các hạng tử phía sau nhỏ hơn hạng tử phía trước theo một quy luật.

1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 1 n . {\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}.}

• Chuỗi đan dấu là chuỗi trong đó các số hạng của nó đan dấu nhau. Chẳng hạn:

1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − ⋯ = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 1 n . {\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{1 \over n}.}